Tout ce qu’il faut savoir pour maîtriser le calcul intégral en L3, M1 et à l’agrégation de mathématiques avec cours complet, QCM corrigés, 230 exercices d’application avec solutions et 11 problèmes d’examens.
Ce manuel d’analyse présente les bases de la théorie de l’intégration et ses premières applications au programme de la Licence 3 et du Master 1 de mathématiques pures ou appliquées. Il propose plusieurs niveaux de lecture où l’on distingue clairement les connaissances indispensables à maîtriser lors d’une première initiation et les applications à aborder lors d’une lecture plus approfondie. Il sera très utile aux candidats à l’agrégation de mathématiques.
Cette 8e édition augmentée développe encore les applications de la théorie de l’intégration et y ajoute un nouveau chapitre consacré à la Transformée de Laplace ainsi que 10 exercices supplémentaires inédits.
I. Rappels et préliminaires
1. Intégrale au sens de Riemann – 2. Éléments de théorie des cardinaux – 3. Quelques compléments de topologie
II. Théorie de la mesure
De Riemann vers Lebesgue – Sur une généralisation de l’intégrale définie (par H. Lebesgue) – 4. Tribu de parties d’un ensemble – 5. Fonctions mesurables – 6. Mesure positive sur un espace mesurable
III. Intégrale de Lebesgue
7. Intégrale par rapport à une mesure positive – 8. Théorèmes de convergence et applications – 9. Espaces Lp – 10. Théorèmes de représentation et applications – 11. Mesure produit. Théorèmes de Fubini – 12. Mesure image. Changement de variables – 13. Mesure complétée, tribu de Lebesgue, ensemble de Cantor
IV. Convolution. Transformées de Fourier et de Laplace
14. Convolution et applications – 15. Transformée de Fourier – 16. Transformée de Laplace
V. En guise de conclusion : problèmes, QCM et solutions succinctes des exercices et QCM
16. Questionnaires à choix multiples – 17. Quelques problèmes – 18. Vers la solution des exercices – 19. Réponses aux QCM
Bibliographie – Index
