Basé sur plusieurs cours donnés successivement à l’ENS Paris et à l’ENS Paris-Saclay, cet ouvrage s’adresse aux élèves de master souhaitant acquérir des bases solides dans le domaine de l’analyse.Les trois premières parties couvrent les techniques fondamentales de l’analyse fonctionnelle, de l’analyse harmonique et de l’analyse microlocale. La dernière partie donne un aperçu de l’analyse des équations aux dérivées partielles en étudiant des théorèmes majeurs, tels que la solution du problème de Calderón, le théorème de régularité des équations elliptiques de De Giorgi et le théorème de propagation des singularités de Hörmander.Des exercices complètent cette présentation et proposent de prouver de nombreux résultats célèbres.
Avant-propos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vii
Partie I. Analyse fonctionnelle
1. Espaces vectoriels topologiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1. Espaces vectoriels normés. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2. Parties convexes, bornées, équilibrées. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3. Espaces de dimension finie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.4. Semi-normes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.5. Espaces de Banach. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.6. L’espace des fonctions continues. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.7. Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2. Théorèmes de point fixe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.1. Rappels de calcul différentiel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.2. Théorème du point fixe de Banach. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.3. Théorème d’inversion locale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.4. Théorème de Cauchy-Lipschitz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.5. Théorèmes de Caristi et d’Ekeland. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.6. Théorème du point fixe de Brouwer. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.7. Théorème de l’invariance du domaine de Brouwer. . . . . . . . . . . . 47
2.8. Théorème de Nash. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.9. Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3. Analyse hilbertienne, dualité et convexité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.1. Introduction aux espaces de Hilbert. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
3.2. Bases hilbertiennes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
3.3. Théorème de Hahn-Banach. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
3.4. Espaces de Lebesgue. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
3.5. Convergence faible, convergence faible étoile. . . . . . . . . . . . . . . . . 78
3.6. Théorème de Banach-Alaoglu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
3.7. Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
iv TABLE DES MATIÈRES
Partie II. Analyse harmonique
4. Séries de Fourier. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
4.1. Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
4.2. Fonctions de carrés intégrables. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
4.3. Convergence simple et convergence uniforme. . . . . . . . . . . . . . . . . 99
4.4. Applications de la formule de Plancherel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
4.5. Théorème de Wiener. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
4.6. Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
5. Transformation de Fourier. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
5.1. Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
5.2. Classe de Schwartz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
5.3. Distributions tempérées. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
5.4. Décomposition de Littlewood-Paley. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
5.5. Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
6. Convolution. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
6.1. Définition du produit de convolution. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
6.2. Approximations de l’identité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
6.3. Fonction maximale de Hardy-Littlewood. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
6.4. Convergence simple d’une approximation de l’identité. . . . . . . . 144
6.5. Inégalité de Hardy-Littlewood-Sobolev. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
6.6. Inégalités de Sobolev. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
6.7. Formule de reconstruction de Calderón et ondelettes. . . . . . . . . 151
6.8. Théorème taubérien de Wiener. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
6.9. Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
7. Espaces de Sobolev. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
7.1. Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
7.2. Inégalité de Poincaré et problème de Poisson. . . . . . . . . . . . . . . . . 167
7.3. Espaces de Sobolev définis sur un ouvert quelconque. . . . . . . . . 170
7.4. Analyse de Fourier et espaces de Sobolev. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
7.5. Injections de Sobolev. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
7.6. Caractérisation dyadique des espaces de Sobolev. . . . . . . . . . . . . 186
7.7. Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
8. Fonctions harmoniques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
8.1. Propriété de la moyenne. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
8.2. Solution fondamentale du laplacien. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
8.3. Régularité des fonctions harmoniques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
8.4. Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
TABLE DES MATIÈRES v
Partie III. Analyse microlocale
9. Opérateurs pseudo-différentiels. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
9.1. Symboles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
9.2. Continuité des opérateurs pseudo-différentiels. . . . . . . . . . . . . . . . 213
9.3. Généralisations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
9.4. Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
10. Calcul symbolique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
10.1. Introduction au calcul symbolique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
10.2. Intégrales oscillantes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
10.3. Adjoint et composition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
10.4. Applications du calcul symbolique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243
10.5. Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246
11. Équations hyperboliques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253
11.1. Équations de transport. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253
11.2. Équations hyperboliques pseudo-différentielles. . . . . . . . . . . . . . 256
11.3. Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261
12. Singularités microlocales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263
12.1. Propriétés locales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263
12.2. Front d’onde. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265
12.3. Théorème de propagation des singularités. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269
12.4. Problèmes non linéaires. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275
12.5. Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276
Partie IV. Analyse des équations aux dérivées partielles
13. Le problème de Calderón. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283
13.1. Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283
13.2. Densité des produits de fonctions harmoniques. . . . . . . . . . . . . . 284
13.3. Équations à coefficients variables. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285
13.4. Théorème de Sylvester-Uhlmann. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292
13.5. Un exercice. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294
14. Théorème de De Giorgi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295
14.1. Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295
14.2. Sous-solutions et transformations non linéaires. . . . . . . . . . . . . . 298
14.3. Itérations de Moser. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303
14.4. Inégalité de Harnack. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306
14.5. Régularité höldérienne. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308
14.6. Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311
vi TABLE DES MATIÈRES
15. Théorème de Schauder. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315
15.1. Moyennes locales et équations elliptiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315
15.2. Moyennes locales et espaces de Hölder. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317
15.3. Théorème de Campanato. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319
15.4. Théorème de Schauder. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321
15.5. Régularité H2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327
15.6. Régularité des surfaces minimales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328
15.7. Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331
16. Estimations dispersives. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333
16.1. L’équation de Schrödinger. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333
16.2. Estimée de Strichartz-Bourgain pour KdV. . . . . . . . . . . . . . . . . . 338
16.3. Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342
Partie V. Rappels et solutions des exercices
17. Rappels de Topologie générale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349
A. Espaces topologiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349
B. Séparabilité, compacité et complétude. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354
C. Théorème de Baire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359
D. Fonctions régulières à support compact. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362
E. Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366
18. Inégalités dans les espaces de Lebesgue. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369
A. Les espaces Lp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369
B. Inégalités de Hölder, Minkowski et Hardy. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 370
C. Fonction de distribution et théorème de Marcinkiewicz. . . . . . . . 373
D. Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 376
19. Solutions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381
Index. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 417
Notations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 421
Développements pour l’agrégation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423
Bibliographie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 425
