Basé sur plusieurs cours donnés successivement à l’ENS Paris et à l’ENS Paris-Saclay, cet ouvrage s’adresse aux élèves de master souhaitant acquérir des bases solides dans le domaine de l’analyse.Les trois premières parties couvrent les techniques fondamentales de l’analyse fonctionnelle, de l’analyse harmonique et de l’analyse microlocale. La dernière partie donne un aperçu de l’analyse des équations aux dérivées partielles en étudiant des théorèmes majeurs, tels que la solution du problème de Calderón, le théorème de régularité des équations elliptiques de De Giorgi et le théorème de propagation des singularités de Hörmander.Des exercices complètent cette présentation et proposent de prouver de nombreux résultats célèbres.

Avant-propos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vii

Partie I. Analyse fonctionnelle

1. Espaces vectoriels topologiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.1. Espaces vectoriels normés. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2. Parties convexes, bornées, équilibrées. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.3. Espaces de dimension finie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.4. Semi-normes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.5. Espaces de Banach. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.6. L’espace des fonctions continues. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.7. Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2. Théorèmes de point fixe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.1. Rappels de calcul différentiel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.2. Théorème du point fixe de Banach. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.3. Théorème d’inversion locale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.4. Théorème de Cauchy-Lipschitz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.5. Théorèmes de Caristi et d’Ekeland. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

2.6. Théorème du point fixe de Brouwer. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

2.7. Théorème de l’invariance du domaine de Brouwer. . . . . . . . . . . . 47

2.8. Théorème de Nash. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

2.9. Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

3. Analyse hilbertienne, dualité et convexité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

3.1. Introduction aux espaces de Hilbert. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

3.2. Bases hilbertiennes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

3.3. Théorème de Hahn-Banach. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

3.4. Espaces de Lebesgue. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

3.5. Convergence faible, convergence faible étoile. . . . . . . . . . . . . . . . . 78

3.6. Théorème de Banach-Alaoglu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

3.7. Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

iv TABLE DES MATIÈRES

Partie II. Analyse harmonique

4. Séries de Fourier. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

4.1. Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

4.2. Fonctions de carrés intégrables. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

4.3. Convergence simple et convergence uniforme. . . . . . . . . . . . . . . . . 99

4.4. Applications de la formule de Plancherel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

4.5. Théorème de Wiener. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

4.6. Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

5. Transformation de Fourier. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

5.1. Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

5.2. Classe de Schwartz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

5.3. Distributions tempérées. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

5.4. Décomposition de Littlewood-Paley. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

5.5. Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

6. Convolution. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

6.1. Définition du produit de convolution. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

6.2. Approximations de l’identité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

6.3. Fonction maximale de Hardy-Littlewood. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

6.4. Convergence simple d’une approximation de l’identité. . . . . . . . 144

6.5. Inégalité de Hardy-Littlewood-Sobolev. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

6.6. Inégalités de Sobolev. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

6.7. Formule de reconstruction de Calderón et ondelettes. . . . . . . . . 151

6.8. Théorème taubérien de Wiener. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

6.9. Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

7. Espaces de Sobolev. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

7.1. Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

7.2. Inégalité de Poincaré et problème de Poisson. . . . . . . . . . . . . . . . . 167

7.3. Espaces de Sobolev définis sur un ouvert quelconque. . . . . . . . . 170

7.4. Analyse de Fourier et espaces de Sobolev. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

7.5. Injections de Sobolev. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179

7.6. Caractérisation dyadique des espaces de Sobolev. . . . . . . . . . . . . 186

7.7. Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

8. Fonctions harmoniques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193

8.1. Propriété de la moyenne. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193

8.2. Solution fondamentale du laplacien. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196

8.3. Régularité des fonctions harmoniques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200

8.4. Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203

TABLE DES MATIÈRES v

Partie III. Analyse microlocale

9. Opérateurs pseudo-différentiels. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209

9.1. Symboles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209

9.2. Continuité des opérateurs pseudo-différentiels. . . . . . . . . . . . . . . . 213

9.3. Généralisations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216

9.4. Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217

10. Calcul symbolique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223

10.1. Introduction au calcul symbolique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223

10.2. Intégrales oscillantes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227

10.3. Adjoint et composition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233

10.4. Applications du calcul symbolique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243

10.5. Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246

11. Équations hyperboliques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253

11.1. Équations de transport. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253

11.2. Équations hyperboliques pseudo-différentielles. . . . . . . . . . . . . . 256

11.3. Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261

12. Singularités microlocales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263

12.1. Propriétés locales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263

12.2. Front d’onde. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265

12.3. Théorème de propagation des singularités. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269

12.4. Problèmes non linéaires. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275

12.5. Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276

Partie IV. Analyse des équations aux dérivées partielles

13. Le problème de Calderón. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283

13.1. Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283

13.2. Densité des produits de fonctions harmoniques. . . . . . . . . . . . . . 284

13.3. Équations à coefficients variables. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285

13.4. Théorème de Sylvester-Uhlmann. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292

13.5. Un exercice. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294

14. Théorème de De Giorgi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295

14.1. Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295

14.2. Sous-solutions et transformations non linéaires. . . . . . . . . . . . . . 298

14.3. Itérations de Moser. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303

14.4. Inégalité de Harnack. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306

14.5. Régularité höldérienne. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308

14.6. Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311

vi TABLE DES MATIÈRES

15. Théorème de Schauder. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315

15.1. Moyennes locales et équations elliptiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315

15.2. Moyennes locales et espaces de Hölder. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317

15.3. Théorème de Campanato. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319

15.4. Théorème de Schauder. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321

15.5. Régularité H2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327

15.6. Régularité des surfaces minimales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328

15.7. Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331

16. Estimations dispersives. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333

16.1. L’équation de Schrödinger. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333

16.2. Estimée de Strichartz-Bourgain pour KdV. . . . . . . . . . . . . . . . . . 338

16.3. Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342

Partie V. Rappels et solutions des exercices

17. Rappels de Topologie générale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349

A. Espaces topologiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349

B. Séparabilité, compacité et complétude. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354

C. Théorème de Baire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359

D. Fonctions régulières à support compact. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362

E. Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366

18. Inégalités dans les espaces de Lebesgue. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369

A. Les espaces Lp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369

B. Inégalités de Hölder, Minkowski et Hardy. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 370

C. Fonction de distribution et théorème de Marcinkiewicz. . . . . . . . 373

D. Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 376

19. Solutions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381

Index. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 417

Notations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 421

Développements pour l’agrégation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423

Bibliographie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 425